RARUS'S GALLERY

Price Realized: $30 860

ARCHIMEDES (287-212 B.C.). Opera, quae quidem extant, omnia, in Greek and Latin - EUTOCIUS, Ascalonites (fl. early 6th century). In eosdem Archimedis libros commentaria, in Greek and Latin. Translated by Jacobus de Sancto Cassiano Cremonensis (fl. 1450), edited by Johann Müller, called Regiomontanus (1436-76), and by Thomas Gechauff, called Venatorius (d. 1551). Basel: Johann Herwagen, March 1544. 4 parts in one volume, 2° (315 x 217mm). With blank I4. Greek, roman and italic types. Woodcut mathematical diagrams, woodcut ornamental initials, printer's woodcut device on Ii4. (Small puncture affecting a few letters and penetrating to \Km\k, title detached and with some wear and small loss in the margins, Dd1.4 detached, a few marginal wormholes, k4 with loss in the bottom margin, occasional marginal dampstain.) Temporary contemporary paper binding comprising three sheets of rough paper, sewn on vellum cords, hinges reinforced with 16th-century vellum fragments (worn, with some loss at spine and edges, some soiling). PMM 72.

Уход: £20,000. Аукцион Christie's. Valuable Manuscripts and Printed Books . 12 November 2008. London, King Street. Лот № 90.

EDITIO PRINCEPS, IN A TEMPORARY CONTEMPORARY BINDING, of seven mathematical works by the greatest mathematician of Antiquity, and three works by Eutocius Ascalonites. Jacopo da Cremona's Latin translations, corrected by Johannes Regiomontanus, appear here for the first time. The publication of the present edition marked a decisive step forward in the history of mathematics in making Archimedes' knowledge and sophisticated techniques readily available for study, providing a foundation on which Galileo, Kepler, Newton and others could build. The works of Archimedes collected here include: On the sphere and the cylinder, On the measurement of the circle, On conoids and spheroids, On spirals, On the equilibrium of planes, The sand-reckoner, and On the quadrature of the parabola. The Greek manuscript from which this edition was printed had been acquired in Rome by Willibald Pirckheimer and survives today in Nuremberg City Library. Adams A-1531; Dibner Heralds, 137; Grolier/Horblit 5; Hoffman I:228; PMM 72; Norman 61.

«Архимед, доведись ему жить в наше время, создал бы удивительные вещи: ведь и квадратура параболы, и измерения конических и сферических поверхностей в его время были не менее сложны, чем в паше глубочайшие аналитические исследования неделимых». Г.В.  Лейбниц

Архимед - великий древнегреческий математик, физик, астроном и инженер. О его жизни известно немного. Архимед родился в 287 г. до н. э. в Сиракузах на острове Сицилия в семье астронома Фидия — родственника сиракузского царя Гиерона. Начав как инженер, Архимед, стремившийся к углублению теоретических знаний, попал в Александрию, научный центр античного мира. Здесь он встретился с Кононом, известным математиком и астрономом. Вернувшись в Сиракузы уже зрелым математиком, Архимед сделал свои выдающиеся открытия, описанные в посланиях к Досифею, ученику Конона. Ученый развил методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Архимед вычислил площадь эллипса, параболического сегмента, нашел площадь поверхности конуса и шара, объем шара и сферического сегмента, а также различных тел вращения и их сегментов. В работе «О шаре и цилиндре» он изложил свой метод вычисления объема шара и его поверхности, показал, что объемы цилиндра и вписанного в него шара относятся как 2:3.

«Конечно, — отмечал ученый, — эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но они все же оставались неизвестными тем, кто до нас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом...»

Архимед исследовал свойства так называемой архимедовой спирали. Он дал построение касательной к этой спирали, нашел площадь ее витка. Здесь ученый выступил как предшественник методов дифференциального исчисления. Сочинение Архимеда «Псаммит» (исчисление песчинок) было первой работой, содержащей идеи интегрального исчисления. С большой точностью ученый вычислил значение числа «71». Математические работы Архимеда намного опередили свое время и были должным образом оценены лишь в период создания дифференциального и интегрального исчислений. Архимед стал основателем математической физики, одним из создателей механики как науки. Он разработал научные основы статики, в частности ввел понятие центра тяжести, определил положение центра тяжести многих тел и фигур, математически вывел законы рычага, сформулировал правило сложения параллельных сил. В сочинении «О плавающих телах» содержатся основные положения гидростатики, ее основной закон (закон Архимеда). Используя этот закон, Архимед решил задачу о содержании золота и серебра в короне сиракузского царя Гиерона. Об этом повествует всем известная легенда. В этом же сочинении он исследовал равновесие плавающих тел. Архимед занимался и астрономическими наблюдениями. Римский историк Тит Ливий писал, что это «не имеющий себе равных наблюдатель неба и звезд». Ученый сконструировал прибор для определения видимого (углового) диаметра Солнца, нашел значение этого угла с поразительной точностью. Огромное впечатление на современников произвел созданный Архимедом механический небесный глобус — прообраз планетария, демонстрировавший все видимые движения небесных тел и даже фазы Луны с помощью механизмов, находящихся внутри глобуса. Римский поэт Клавдиан (V в.) писал об этом глобусе:

Неба устав, законы богов, гармонию мира —

Все Сиракузский старик мудро на Землю принес.

Воздух, скрытый внутри, различные движет светила

Точно по данным путям, сделав творенье живым.

Ложный бежит зодиак, назначенный ход выполняя,

Лик поддельный Луны вновь каждый месяц идет.

Смелым искусством гордясь, свой мир приводя во вращенье,

Звездами вышних небес правит умом человек.

Архимеда по праву считают одним из крупнейших инженеров своего времени. Одна из легенд рассказывает о том, как благодаря системе блоков он одним движением руки спустил на воду корабль «Сирокосия», построенный в подарок египетскому царю Птолемею. Это стало поводом для слов, по преданию сказанных им:

«Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!»

Ученый изобрел также винт для подачи воды (архимедов винт), различные грузоподъемные и военные машины. Его родной город не раз становился ареной войн между римлянами и Карфагеном, и Архимед возглавлял оборону, спасая своих сограждан с помощью сконструированных им машин.

Осада Сиракуз, гравюра XVIII века.

Римскому полководцу Марцеллу пришлось отвести флот и сухопутное войско от стен Сиракуз и перейти к их длительной осаде. Легендой овеяны последние минуты жизни ученого. Когда легионеры ворвались во двор его дома, он решал на песке очередную геометрическую задачу. Увидев занесенный над своей головой меч, он произнес:

«Не трогай моих кругов!»

Эдуар Вимон (1846—1930). Смерть Архимеда.

Выполняя завещание ученого, родственники поставили на его могиле маленькую колонну с изображением шара и описанного вокруг него цилиндра. Вместо имени усопшего и эпитафии была высечена любимая задача Архимеда:

«Объемы этих тел относятся, как 2:3».

Рассказ о смерти Архимеда от рук римлян существует в нескольких версиях:

1. Рассказ Иоанна Цеца (Chiliad, книга II): в разгар боя 75-летний Архимед сидел на пороге своего дома, углублённо размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущённый учёный бросился на римлянина с криком: «Не тронь моих чертежей!» Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.

2. Рассказ Плутарха: «К Архимеду подошёл солдат и объявил, что его зовёт Марцелл. Но Архимед настойчиво просил его подождать одну минуту, чтобы задача, которой он занимался, не осталась нерешённой. Солдат, которому не было дела до его доказательства, рассердился и пронзил его своим мечом». Плутарх утверждает, что консул Марцелл был разгневан гибелью Архимеда, которого он якобы приказал не трогать.

3. Архимед сам отправился к Марцеллу, чтобы отнести ему свои приборы для измерения величины Солнца. По дороге его ноша привлекла внимание римских солдат. Они решили, что учёный несёт в ларце золото или драгоценности, и, недолго думая, перерезали ему горло.

4. Рассказ Диодора Сицилийского: «Делая набросок механической диаграммы, он склонился над ним. И когда римский солдат подошёл и стал тащить его в качестве пленника, он, целиком поглощённый своей диаграммой, не видя, кто перед ним, сказал: „Прочь с моей диаграммы!“ Затем, когда человек продолжил тащить его, он, повернувшись и узнав в нём римлянина, воскликнул: „Быстро, кто-нибудь, подайте одну из моих машин!“ Римлянин, испугавшись, убил слабого старика, того, чьи достижения являли собой чудо. Как только Марцелл узнал об этом, он сильно огорчился и совместно с благородными гражданами и римлянами устроил великолепные похороны среди могил его предков. Что касается убийцы, то он, кажется, был обезглавлен».

5. «Римская история от основания города» Тита Ливия (Книга XXV, 31): «Передают, что когда при той сильной суматохе, какую только могла вызвать распространившаяся во взятом городе паника, воины разбежались, производя грабёж, то много было явлено отвратительных примеров злобы и алчности; между прочим, один воин убил Архимеда, занятого черчением на песке геометрических фигур, не зная, кто он. Марцелл, говорят, был этим огорчён, озаботился погребением убитого, разыскал даже родственников Архимеда, и имя его и память о нём доставили последним уважение и безопасность».

Римская гробница, построенная не менее чем через 2 века после гибели Архимеда в Сиракузах и которую принято называть «Гробницей Архимеда» (итал. Tomba di Archimede). Цицерон, бывший квестором на Сицилии в 75 году до н. э., пишет в «Тускуланских беседах» (книга V), что ему в 75 году до н. э., спустя 137 лет после этих событий, удалось обнаружить полуразрушенную могилу Архимеда; на ней, как и завещал Архимед, было изображение шара, вписанного в цилиндр.

«Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же — тому напряженному труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становятся доступными без труда. Если читатель сам не находит доказательства, то при изучении архимедовых сочинений у него создается впечатление, что он и сам смог бы без труда найти решение, — таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хотел доказать. Поэтому не кажется невероятным, что он, как рассказывают, будучи околдован геометрией, забывал о пище и пренебрегал заботами о своем теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну и натираться мазями, а он чертил на золе геометрические фигуры и на своем намазанном маслом теле проводил пальцем линии — настолько он был охвачен этими занятиями и действительно одухотворен музами». Плутарх

До наших дней дошли следующие сочинения Архимеда:

Квадратура параболы / τετραγωνισμὸς παραβολῆς — определяется площадь сегмента параболы.

О шаре и цилиндре / περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου — доказывается, что объём шара равен 2/3 от объёма описанного около него цилиндра, а площадь поверхности шара равна площади боковой поверхности этого цилиндра.

О спиралях / περὶ ἑλίκων — выводятся свойства спирали Архимеда.

О коноидах и сфероидах / περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων — определяются объёмы сегментов параболоидов, гиперболоидов и эллипсоидов вращения.

О равновесии плоских фигур / περὶ ἰσορροπιῶν — выводится закон равновесия рычага; доказывается, что центр тяжести плоского треугольника находится в точке пересечения его медиан; находятся центры тяжести параллелограмма, трапеции и параболического сегмента.

Послание к Эратосфену о методе / πρὸς Ἐρατοσθένην ἔφοδος — обнаружено в 1906 году, по тематике частично дублирует работу «О шаре и цилиндре», но здесь используется механический метод доказательства математических теорем.

О плавающих телах / περὶ τῶν ὀχουμένων — выводится закон плавания тел; рассматривается задача о равновесии сечения параболоида, моделирующего корабельный корпус.

Измерение круга / κύκλου μέτρησις — до нас дошёл только отрывок из этого сочинения. Именно в нём Архимед вычисляет приближение для числа \pi.

Псаммит / ψαμμίτης — вводится способ записи очень больших чисел.

Стомахион / στομάχιον — дано описание популярной игры.

Задача Архимеда о быках / πρόβλημα βοικόν — ставится задача, приводимая к уравнению Пелля.

Ряд работ Архимеда сохранился только в арабском переводе:

Трактат о построении около шара телесной фигуры с четырнадцатью основаниями;

Книга лемм;

Книга о построении круга, разделённого на семь равных частей;

Книга о касающихся кругах.

«Римляне надеялись при многочисленности рабочих рук покончить с приготовлениями в течение пяти дней и не дать неприятелю подготовиться. Но при этом они не приняли в расчет искусства Архимеда, не догадались, что иногда дарование одного человека способно сделать больше, чем огромное множество рук... Архимед соорудил машины, приспособив их к метанию снарядов на любое расстояние... Кроме того, с машины спускалась прикрепленная к цепи железная лапа; управлявший жерлом машины захватывал в каком-нибудь месте этой лапой нос корабля и потом опускал вниз находящийся внутри города конец машины. Когда нос судна был таким образом поднят и судно поставлено отвесно на корму, то плечо рычага закреплялось неподвижно, а лапа вместе с цепью отделялись от машины... Вследствие этого некоторые суда ложились на бок, другие совсем опрокидывались, большинство же от падения носом с значительной высоты в море погружались и наполнялись водой, внося большой беспорядок и ужас среди экипажа. Изобретательность Архимеда приводила Марка [Марцелла] в отчаяние; с прискорбием он видел, как осажденные глумятся над его усилиями и какие они ему причиняют потери». Полибий

По словам Плутарха, Архимед был просто одержим математикой. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Работы Архимеда относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре. Так, он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида x²(a ±x) = b, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать. Однако главные математические достижения Архимеда касаются проблем, которые сейчас относят к области математического анализа. Греки до Архимеда сумели определить площади многоугольников и круга, объём призмы и цилиндра, пирамиды и конуса. Но только Архимед нашёл гораздо более общий метод вычисления площадей или объёмов; для этого он усовершенствовал и виртуозно применял метод исчерпывания Евдокса Книдского. В своей работе «Послание к Эратосфену о методе» (иногда называемой «Метод механических теорем») он использовал бесконечно малые для вычисления объёмов. Идеи Архимеда легли впоследствии в основу интегрального исчисления. Архимед сумел установить, что объёмы конуса и шара, вписанных в цилиндр, и самого цилиндра соотносятся как 1:2:3. Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара — задача, которую до него никто решить не мог. Архимед просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр. Помимо перечисленного, Архимед вычислил площадь поверхности для сегмента шара и витка открытой им «спирали Архимеда», определил объёмы сегментов шара, эллипсоида, параболоида и двуполостного гиперболоида вращения. Следующая задача относится к геометрии кривых. Пусть дана некоторая кривая линия. Как определить касательную в любой её точке? Или, если переложить эту проблему на язык физики, пусть нам известен путь некоторого тела в каждый момент времени. Как определить скорость его в любой точке? В школе учат, как проводить касательную к окружности. Древние греки умели, кроме того, находить касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод впоследствии лёг в основу дифференциального исчисления. В математике, физике и астрономии очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин — их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём? Все такие задачи в настоящее время могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как решать задачи на экстремумы. Идеи Архимеда почти на два тысячелетия опередили своё время. Только в XVII веке учёные смогли продолжить и развить труды великого греческого математика. Архимед прославился многими механическими конструкциями. Рычаг был известен и до Архимеда, но лишь Архимед изложил его полную теорию и успешно её применял на практике. Плутарх сообщает, что Архимед построил в порту Сиракуз немало блочно-рычажных механизмов для облегчения подъёма и транспортировки тяжёлых грузов. Изобретённый им архимедов винт (шнек) для вычерпывания воды до сих пор применяется в Египте. Архимед является и первым теоретиком механики. Он начинает свою книгу «О равновесии плоских фигур» с доказательства закона рычага. В основе этого доказательства лежит аксиома о том, что равные тела на равных плечах по необходимости должны уравновешиваться. Точно также и книга «О плавании тел» начинается с доказательства закона Архимеда. Эти доказательства Архимеда представляют собой первые мысленные эксперименты в истории механики. Архимед построил планетарий или «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Занимался проблемой определения расстояний до планет; предположительно в основе его вычислений лежала система мира с центром в Земле, но планетами Меркурием, Венерой и Марсом, обращающимися вокруг Солнца и вместе с ним — вокруг Земли. В своем сочинении «Псаммит» донёс информацию о гелиоцентрической системе мира Аристарха Самосского.